Chủ đề này có 1 trả lời

[mathlove2015]

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ thõa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$$\begin{cases} f\left( x \right) > 0,\forall x \in R \\   f'\left( x \right) =  - {e^x}.{f^2}\left( x \right),\forall x \in R \\   f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}  \end{cases}$$

 

 

TÍnh giá trị $f(ln2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-02-2018 - 21:18

[E. Galois]

 

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ thõa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$$\begin{cases} f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} & (1) \\   f'\left( x \right) =  - {e^x}.{f^2}\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}  & (2) \\   f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}  & (3)\end{cases}$$

 

 

TÍnh giá trị $f(ln2)$

 

Do $(1)$ nên ta có thể chia cả hai vế của $(2)$ cho $f^2(x)$. Ta được:

$$\dfrac{f'(x)}{f^2(x)} = -e^x, \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad (4)$$

Nguyên hàm hai vế của $(4)$ ta được:

$$\dfrac{1}{f(x)} = e^x + C, \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

Kết hợp với $(3)$, ta được $C=1$.

Do đó $f(x) = \dfrac{1}{e^x+1}, \quad \forall x \in \mathbb{R} $. Do đó: $f(ln2) = \frac{1}{3}$