Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh nhóm các ma trận khả nghịch cấp $n$ trong trường $\mathbb{C}$ với topo là topo con của $\mathbb{C^{n^{2}}}$ là một không gian liên thông đường. 

 

Mình post bài này ở mục đại số tuyến tính vì dù rằng nó có vẻ mang dáng dấp topo nhiều hơn, nhưng nếu chứng minh bằng kiến thức đại cương thì cần chủ yếu đại số tuyến tính. 

 

P/s: Nếu nhìn bài này dưới góc độ khác thì chính là mọi phân thớ phức của $S^{1}$ là tầm thường. Tổng quát hơn ta có song ánh giữa lớp các đồng luân $[S^{k-1},GL_{n}(\mathbb{C}) ]$ và $Vect^{n}_{\mathbb{C}}(S^{k})$ - lớp các phân thớ phức $n$ chiều của $S^{k}$. ( bài trên dùng để chứng minh cái này )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-04-2018 - 00:33

[vutuanhien]

Chứng minh nhóm các ma trận khả nghịch cấp $n$ trong trường $\mathbb{C}$ với topo là topo con của $\mathbb{C^{n^{2}}}$ là một không gian liên thông đường. 

 

Mình post bài này ở mục đại số tuyến tính vì dù rằng nó có vẻ mang dáng dấp topo nhiều hơn, nhưng nếu chứng minh bằng kiến thức đại cương thì cần chủ yếu đại số tuyến tính. 

 

P/s: Nếu nhìn bài này dưới góc độ khác thì chính là mọi phân thớ phức của $S^{1}$ là tầm thường. Tổng quát hơn ta có song ánh giữa lớp các đồng luân $[S^{k-1},GL_{n}(\mathbb{C}) ]$ và $Vect^{n}_{\mathbb{C}}(S^{k})$ - lớp các phân thớ phức $n$ chiều của $S^{k}$. ( bài trên dùng để chứng minh cái này )

Bài này để lâu mà mãi chưa có ai vào giải vậy.

 

Với mỗi ma trận $A\in GL(n,\mathbb{C})$, ta chỉ cần chứng minh có một đường liên tục nối $A$ với $I$ là đủ. 

Vì $\mathbb{C}$ là một trường đóng đại số, nên đa thức đặc trưng của mọi ma trận vuông là có đủ nghiệm. Do đó $A$ tam giác hóa được, tức là tồn tại $C\in GL(n,\mathbb{C})$ sao cho $$A=C^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} & * &* &* \\ 0 & \lambda_{2} &* &* \\ \dots & \dots & \dots & *\\ 0 & \dots & 0 & \lambda_{n} \end{pmatrix}C$$ và $\lambda_{i}\neq 0$ với mọi $i$. 

 

Xét $A(t)=C^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} & * (1-t)&*(1-t) &*(1-t) \\ 0 & \lambda_{2} &* (1-t)&*(1-t) \\ \dots & \dots & \dots & *(1-t)\\ 0 & \dots & 0 & \lambda_{n} \end{pmatrix}C$ với $0\le t\le 1$ thì $A(t)$ là ánh xạ liên tục từ $[0,1]$ vào $GL(n,\mathbb{C})$ vì $\lambda_{i}\neq 0$. Ta có

$A(0)=A$,          $A(1)=C^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} &  &0 & \\  & \lambda_{2} & & \\ 0 &  & \dots & \\  & &  & \lambda_{n} \end{pmatrix}C$.

Đến đây vì $\mathbb{C}\setminus {0}$ vẫn là liên thông đường nên chọn các đường liên tục $\lambda_{i}(t)$ ($1\le t\le 2)$ nối $\lambda_{i}$ với $1$. Khi đó xét $$A(t)=C^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_{1}(t) &  &0 & \\  & \lambda_{2}(t) & & \\ 0 & \dots & \dots & \dots\\  & &  & \lambda_{n}(t) \end{pmatrix}C$$ với $1\le t\le 2$. Nối hai đường lại với nhau ta được một đường nối $A$ và $I$.