Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )\leq 2$$

[TrucCumgarDaklak]

Từ GT $\Rightarrow$ 0<xy ≤1

$x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )=x^{2}y^{2}\left ( x+y \right )^{2}-2x^{3}y^{3}=4x^{2}y^{2}-2y^{3}y^{3}$

Dễ dàng chứng minh bằng đạo hàm được $f\left ( xy \right )=4x^{2}y^{2}-2x^{3}y^{3}$ đồng biến trên $(0;\frac{4}{3}]$$\Rightarrow f\left ( xy \right )$ đồng biến trên $(0;1]$

$\Rightarrow f\left ( xy \right )\leq f\left ( 1 \right )=2$ (với 0<xy ≤1)

Vậy ta có $đpcm$

(latex bị lỗi hay sao ko gõ được "0<xy ≤1")

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 24-02-2018 - 12:00

[Darkness17]

 

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )\leq 2$$

 

$1$ cách khác cho bài này

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=1$

$xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.2xy(x^2+y^2)\leq \frac{1}{2}\frac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}= \frac{(x+y)^4}{8}=2$

Nhân theo vế ta có $đpcm$