Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

 

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{3}y^{3}\left ( x^{3}+ y^{3} \right )\leq 2$$

 

[TrucCumgarDaklak]

Từ GT$\Rightarrow$ $0<xy$$\leq 1$

$x^{3}y^{3}\left ( x^{3}+y^{3} \right )=x^{3}y^{3}\left [ \left ( x+y \right )^{3}-3xy\left ( x+y \right ) \right ]=x^{3}y^{3}\left ( 8-6xy \right )=8x^{3}y^{3}-6x^{4}y^{4}$

Xét $f\left ( xy \right )=8x^{3}y^{3}-6x^{4}y^{4}$

$f'\left ( xy \right )=24\left ( xy \right )^{2}-24\left ( xy \right )^{3}\geq 0\Leftrightarrow xy\leq 1$ $\Rightarrow f\left ( xy \right )$ đồng biến trên $\left ( -\infty ;1 \right ]$

$\Rightarrow f\left ( xy \right )\leq f\left ( 1 \right )=2$ (với $0<xy$$\leq 1$)

Vậy ta có $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 24-02-2018 - 16:32

[Darkness17]

 

 

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{3}y^{3}\left ( x^{3}+ y^{3} \right )\leq 2$$

 

Cách khác 

Ta có $x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2+y^2-xy)=2x^3y^3(x^2-xy+y^2)=2.xy.xy.xy(x^2-xy+y^2)\leq 2(\frac{x^2+y^2+2xy}{4})^4=2[\frac{(x+y)^2}{4}]^4=2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=1$