Chủ đề này có 1 trả lời

[melodias2002]

Cho tam giác $ABC.$ Đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F,G,H,I.$ Chứng minh rằng nếu các đường thẳng qua $D,F,H$ vuông góc $BC,AC,AB$ đồng quy thì các đường thẳng qua $E,G,I$ vuông góc $BC,AC,AB$ cũng đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 10-03-2018 - 15:19

[duylax2412]

Bài này mình có dùng định lý $Carnot$ về tam giác $Pedal$ : Cho tam giác $ABC$. Các điểm $L,M,N$ lần lượt là ba điểm nằm trên ba cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác, khi đó ba đường thẳng qua $L,M,N$ tương ứng và vuông góc với ba cạnh $BC,CA,AB$ đồng quy khi và chỉ khi

$AN^2+BL^2+CM^2=NB^2+LC^2+MA^2$. (nguồn Wikipedia)

Chứng minh bằng $Pytago$

Quay lại bài toán. Thì theo định lý trên ở chiều thuận , ta có:

$AH^2+BD^2+CF^2=BH^2+CD^2+AF^2$

Rõ ràng là cần chứng minh :

$AI^2+BE^2+CG^2=AG^2+BI^2+CE^2$ (để áp dụng định lý đảo)

Hay đi chứng minh 

$(AH^2+AI^2)+(BD^2+BE^2)+(CF^2+CG^2)= (AF^2+AG^2)+(BH^2+BI^2)+(CE^2+CD^2)$

Có $AH.AI=AG.AF;BD.BE=BI.BH;CF.CG=CD.CE$ (phương tích)

Từ đó có biến đổi sau:

$(AH^2+AI^2)+(BD^2+BE^2)+(CF^2+CG^2)=HI^2+DE^2+GF^2+2(AH.AI+BD.BE+CF.CG)$

$(AF^2+AG^2)+(BH^2+BI^2)+(CE^2+CD^2)=GF^2+HI^2+DE^2+2(AF.AG+BH.BI+CE.CD)$

Suy ra điều cần chứng minh.