Chủ đề này có 4 trả lời

[buingoctu]

1)

Cho hai đường tròn (O) , (O') cắt nhau tại A, B.

Một điểm M trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O')(D là tiếp điểm).

a)Chứng minh rằng biểu thức $\frac{MD^{2}}{MA.MB}$ không phụ thuộc vào vị trí của M trên (O).

b)Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O') bờ AB) đường thẳng BE và BF cắt đường tròn (O') tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ.

  Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

2)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC),  hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H   (D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 28-02-2018 - 21:49

[Minhcamgia]

1)

Cho hai đường tròn (O) , (O') cắt nhau tại A, B.

Một điểm M trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O')(D là tiếp điểm).

a)Chứng minh rằng biểu thức $\frac{MD^{2}}{MA.MB}$ không phụ thuộc vào vị trí của M trên (O).

b)Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O') bờ AB) đường thẳng BE và BF cắt đường tròn (O') tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ.

  Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

2)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC),  hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H   (D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

1. a)

Gọi $C$ là giao của $MB$ và $(O')$, theo hệ thức lượng trong đường tròn, ta có $MD^2 = MB.MC \Rightarrow \frac{MD^2}{MB.MA} = \frac{MB.MC}{MB.MA} = \frac{MC}{MA}$ mà $\angle CMA = \frac{1}{2} \angle AOB = \angle AOO'; \angle MCA = \frac{1}{2} \angle AO'B = \angle AO'O \Rightarrow \Delta MCA \sim \Delta OO'A (g.g)  \Rightarrow \frac{MC}{MA} = \frac{OO'}{OA}$ mà $OO', OA$ cố định $\Rightarrow \frac{MC}{MA}$ không đổi $\Rightarrow \frac{MD^2}{MA.MB}$ không đổi khi $M$ di động trên $(O)$. 

Hình gửi kèm

• 

[Minhcamgia]

1)

Cho hai đường tròn (O) , (O') cắt nhau tại A, B.

Một điểm M trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O')(D là tiếp điểm).

a)Chứng minh rằng biểu thức $\frac{MD^{2}}{MA.MB}$ không phụ thuộc vào vị trí của M trên (O).

b)Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O') bờ AB) đường thẳng BE và BF cắt đường tròn (O') tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ.

  Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

2)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC),  hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H   (D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

1. b) Ta có $\angle PAQ = \angle PBQ = 180 - \angle EBF = \angle EAF \Rightarrow \angle PAQ = \angle EAF \Rightarrow \angle PAE = \angle FAQ$ mặt khác $\angle EQA = \angle BQA = \angle BPA \Rightarrow \Delta EPA \sim \Delta FQA (g.g) \Rightarrow \frac{FQ}{EP} = \frac{AF}{AE}$.

Ta có $\Delta CBE \sim \Delta CEA (g.g) \Rightarrow \frac{EB}{EA} = \frac{CB}{CE}; \Delta CFB \sim \Delta CAF (g.g) \Rightarrow \frac{BF}{AF} = \frac{CB}{CF}$ mà $CE = CF \Rightarrow \frac{EB}{EA} = \frac{BF}{AF} \Rightarrow \frac{FB}{EB} = \frac{FA}{EA} \Rightarrow \frac{FQ}{EP} = \frac{BF}{BE} \Rightarrow \frac{BF}{FQ} = \frac{EB}{EP}$.

Gọi $H$ là giao của $EF$ với $PQ$. Áp dụng định lý Menelaus với 3 điểm $E,F,H$ thẳng hàng, ta có $\frac{EB}{EP} . \frac{HP}{HQ} . \frac{FQ}{FB}  =1 \Rightarrow \frac{BF}{FQ} . \frac{HP}{HQ} . \frac{FQ}{FB} = 1 \Rightarrow \frac{HP}{HQ} = 1 \Rightarrow HP = HQ \Rightarrow H$ là trung điểm của $PQ \Rightarrow H \equiv I \Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng $(dpcm)$. 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 24-04-2018 - 18:09

[Minhcamgia]

1)

Cho hai đường tròn (O) , (O') cắt nhau tại A, B.

Một điểm M trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O')(D là tiếp điểm).

a)Chứng minh rằng biểu thức $\frac{MD^{2}}{MA.MB}$ không phụ thuộc vào vị trí của M trên (O).

b)Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O') bờ AB) đường thẳng BE và BF cắt đường tròn (O') tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ.

  Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

2)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC),  hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H   (D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

1. b) Cách khác.

Gọi $H$ là giao của $EF$ với $PQ$. Ta có $\angle AEF = \angle EAH = \angle ABF = \angle ABQ = \angle APQ = \angle APH \Rightarrow EPHA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle AHP = 180 - \angle AEP = \angle AFB; \angle APH = \angle ABF \Rightarrow \Delta APH \sim \Delta ABF (g.g) \Rightarrow \frac{PH}{AH} = \frac{BF}{AF} (1)$.

Ta lại có $\angle AQH = \angle AQP = \angle ABE; \angle AQH = \angle AEB \Rightarrow \Delta AHQ \sim \Delta AEB (g.g) \Rightarrow \frac{QH}{AH} = \frac{BE}{AE}(2)$. 

Mà ta chứng minh được $\Delta CBE \sim CEA (g.g); \Delta CBF \sim \Delta CFA (g.g) \Rightarrow \frac{BE}{AE} = \frac{CB}{CE} = \frac{CB}{CF} = \frac{BF}{AF} \Rightarrow \frac{BE}{AE} = \frac{BF}{AF}(3)$.

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3) \Rightarrow \frac{HP}{AH} = \frac{QH}{AH} \Rightarrow QH = PH \Rightarrow H$ là trung điểm của $PQ \Rightarrow H \equiv I \Rightarrow E,F,I$ thẳng hàng $(dpcm)$. 

Hình gửi kèm

• 

[Minhcamgia]

1)

Cho hai đường tròn (O) , (O') cắt nhau tại A, B.

Một điểm M trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến MD với đường tròn (O')(D là tiếp điểm).

a)Chứng minh rằng biểu thức $\frac{MD^{2}}{MA.MB}$ không phụ thuộc vào vị trí của M trên (O).

b)Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O') bờ AB) đường thẳng BE và BF cắt đường tròn (O') tại P và Q, gọi I là trung điểm của PQ.

  Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

2)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC),  hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H   (D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.

2. Tương tự bài toán này https://diendantoanh...-cmr-ohperp-ef/