Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^4+1=y^3$

scp lập phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 28-02-2018 - 22:05

Giải phương trình nghiệm nguyên 

 

$x^4+1=y^3$


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-03-2018 - 20:23

Giải phương trình nghiệm nguyên 

 

$x^4+1=y^3$

Từ PT suy ra $y>0$.

PT tương đương với $x^4=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.

Đặt $(y-1, y^2+y+1)=d$, mà $y^2+y+1=y(y-1)+2(y-1)+3$ nên $3 \vdots d$.

Nếu $d=3$: Đặt $y=3k+1$ thì $y^2+y+1=(3k+1)^2+(3k+1)+1=9k^2+9k+3=3(3k^2+3k+1) \vdots 3$ nhưng không chia hết cho $9$.

$x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3$ nên $x \vdots 3$, suy ra $x^4 \vdots 81$. $\Rightarrow y-1 \vdots 27$.

Đặt $y=27m+1$, thì $y^2+y+1=3(243m^2+27m+1)$, suy ra $x^4=81m(243m^2+27m+1)$.

Mà $(m,243m^2+27m+1)=1$ nên cả 2 số đều là lũy thừa bậc 4 của 1 stn.

...... (đến đây chưa biết làm tiếp)

 

Nếu $d=1$: $y^2+y+1$ và $y-1$ là số chính phương (vô lý, chứng minh trên)

 

Ps: Lúc trước làm sai, rõ ràng có nghiệm $(x,y)=(0,1)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-03-2018 - 19:15


#3 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 04-03-2018 - 23:36

 

Suy ra $y-1=a^4$. $y-1 \vdots 3$ nên $y-1 \vdots 81$.

Do đó $x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3^k$ và $k$ lẻ, suy ra vô lý.

 

Chỗ này em không hiểu lắm, anh viết rõ hơn được không


BLACKPINK IN YOUR AREA 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: scp, lập phương

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh