Giải phương trình nghiệm nguyên
$x^4+1=y^3$
Giải phương trình nghiệm nguyên
$x^4+1=y^3$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Giải phương trình nghiệm nguyên
$x^4+1=y^3$
Từ PT suy ra $y>0$.
PT tương đương với $x^4=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.
Đặt $(y-1, y^2+y+1)=d$, mà $y^2+y+1=y(y-1)+2(y-1)+3$ nên $3 \vdots d$.
Nếu $d=3$: Đặt $y=3k+1$ thì $y^2+y+1=(3k+1)^2+(3k+1)+1=9k^2+9k+3=3(3k^2+3k+1) \vdots 3$ nhưng không chia hết cho $9$.
$x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3$ nên $x \vdots 3$, suy ra $x^4 \vdots 81$. $\Rightarrow y-1 \vdots 27$.
Đặt $y=27m+1$, thì $y^2+y+1=3(243m^2+27m+1)$, suy ra $x^4=81m(243m^2+27m+1)$.
Mà $(m,243m^2+27m+1)=1$ nên cả 2 số đều là lũy thừa bậc 4 của 1 stn.
...... (đến đây chưa biết làm tiếp)
Nếu $d=1$: $y^2+y+1$ và $y-1$ là số chính phương (vô lý, chứng minh trên)
Ps: Lúc trước làm sai, rõ ràng có nghiệm $(x,y)=(0,1)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-03-2018 - 19:15
Suy ra $y-1=a^4$. $y-1 \vdots 3$ nên $y-1 \vdots 81$.
Do đó $x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3^k$ và $k$ lẻ, suy ra vô lý.
Chỗ này em không hiểu lắm, anh viết rõ hơn được không
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$5^p+p^3$Bắt đầu bởi Khoa Linh, 25-10-2018 scp, snt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 12-08-2018 scp, số chính phương, chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$P=\frac{(m+n)^2}{4\left [m(m-n)^2+1 \right ]}$ là số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 28-05-2018 scp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b là 2 số nguyên thoả mãnBắt đầu bởi BurakkuYokuro11, 23-05-2018 số học, scp, burakkuyokuro11 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 08-03-2018 scp |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh