Đến nội dung

Hình ảnh

$x^4+1=y^3$

scp lập phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên 

 

$x^4+1=y^3$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên 

 

$x^4+1=y^3$

Từ PT suy ra $y>0$.

PT tương đương với $x^4=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.

Đặt $(y-1, y^2+y+1)=d$, mà $y^2+y+1=y(y-1)+2(y-1)+3$ nên $3 \vdots d$.

Nếu $d=3$: Đặt $y=3k+1$ thì $y^2+y+1=(3k+1)^2+(3k+1)+1=9k^2+9k+3=3(3k^2+3k+1) \vdots 3$ nhưng không chia hết cho $9$.

$x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3$ nên $x \vdots 3$, suy ra $x^4 \vdots 81$. $\Rightarrow y-1 \vdots 27$.

Đặt $y=27m+1$, thì $y^2+y+1=3(243m^2+27m+1)$, suy ra $x^4=81m(243m^2+27m+1)$.

Mà $(m,243m^2+27m+1)=1$ nên cả 2 số đều là lũy thừa bậc 4 của 1 stn.

...... (đến đây chưa biết làm tiếp)

 

Nếu $d=1$: $y^2+y+1$ và $y-1$ là số chính phương (vô lý, chứng minh trên)

 

Ps: Lúc trước làm sai, rõ ràng có nghiệm $(x,y)=(0,1)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-03-2018 - 19:15


#3
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

 

Suy ra $y-1=a^4$. $y-1 \vdots 3$ nên $y-1 \vdots 81$.

Do đó $x^4=(y-1)(y^2+y+1) \vdots 3^k$ và $k$ lẻ, suy ra vô lý.

 

Chỗ này em không hiểu lắm, anh viết rõ hơn được không


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: scp, lập phương

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh