Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đồng quy khi $AD$ là đường đối trung


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 melodias2002

melodias2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hoả

Đã gửi 01-03-2018 - 23:37

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$, $AC$ tại $F$, $E$. Chứng minh rằng: $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung thuộc góc A của tam giác $ABC$.



#2 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-03-2018 - 19:21

Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.

 

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:

 

$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh. 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#3 toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bờ bên kia...
  • Sở thích:Toán học, Vật Lí, Phim, Âm Nhạc, Bóng đá...

Đã gửi 28-04-2018 - 19:23

Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.

 

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:

 

$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$

 

Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh. 

Bạn cho mình hỏi về cách vẽ hình :D 


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh