Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$, $AC$ tại $F$, $E$. Chứng minh rằng: $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung thuộc góc A của tam giác $ABC$.
Đồng quy khi $AD$ là đường đối trung
#2
Đã gửi 16-03-2018 - 19:21
Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.
Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:
$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$
$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$
Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh.
- melodias2002 và YoLo thích
#3
Đã gửi 28-04-2018 - 19:23
Giả sử $AD$ là đường đối trung. Theo bổ đề quen thuộc suy ra $OI$ vuông góc với $AD$, gọi $S$ là giao điểm của $OI$ và $BC$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $(I)$ với $AB, AC$. Dễ thấy $S, P ,Q$ thẳng hàng. Từ đó suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{SB}{SC}$.
Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với cát tuyến $SFE$ ta được:
$\frac{FA}{FB}.\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}=1$
$\Leftrightarrow \frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$
Nên theo định lý $Ceva$ đảo ta có điều phải chứng minh.
Bạn cho mình hỏi về cách vẽ hình
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh