1 reply to this topic

[Tran Dinh Nhat]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O), điểm M thuộc (O). Gọi N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA và AB.
Chứng minh N, P, Q thẳng hàng.
Khi M thuộc cung nhỏ BC. Tìm vị trí M để PQ lớn nhất.

Attached Images

• 

[vkhoa]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O), điểm M thuộc (O). Gọi N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA và AB.
Chứng minh N, P, Q thẳng hàng.
Khi M thuộc cung nhỏ BC. Tìm vị trí M để PQ lớn nhất.

Tứ giác $MNBQ$ nội tiếp$\Rightarrow\widehat{BNQ} =\widehat{BMQ}$ (1)

$MNPC$ nội tiếp$\Rightarrow\widehat{PNC} =\widehat{PMC}$ (2)

$ABMC$ nội tiếp$\Rightarrow\widehat{MBQ} =\widehat{MCP}$

$\Leftrightarrow 90^\circ -\widehat{MBQ} =90^\circ -\widehat{MCP}$

$\Leftrightarrow\widehat{BMQ} =\widehat{PMC} $ (3)

từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\widehat{BNQ} =\widehat{CNP}$

mà $B, N, C$ thẳng hàng

$\Rightarrow P, N, Q$ thẳng hàng

ta có $\triangle MQP\sim\triangle MBC$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{QP}{BC} =\frac{MQ}{MB}$

$MQ\leqslant MB\Rightarrow QP\leqslant BC$

dấu = xảy ra khi $Q$ trùng $B$

$\Leftrightarrow MA$ là đường kính của $(O)$

Attached Images

•