Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trong (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K
a. Chứng minh BHCK là hình bình hành
b. Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh S AHG = 2S AGO
a) Do $AK$ là đường kính của đường tròn tâm $O$ nên ta có: $\angle{ABK}=\angle{ACK}=90^0$.
Do đó ta có: $BH\parallel CK\text{ (do cùng vuông góc với AC)}$. Tương tự: $CH\parallel BK$.
Từ hai điều trên suy ra: $BHCK$ là hình bình hành.(1)
b) Ta có: $OM\bot BC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$.
Mặt khác do $(1)$ suy ra $M$ cũng là trung điểm của $HK$.
Khi đó: Xét $\triangle{AHK}$ có: $MH=MK;OA=OK$ nên suy ra được: $OM\parallel AH; OM=\frac{AH}{2}$.
Gọi $G'=AM\cap OH$. Khi đó áp dụng định lí Ta-let ta có: $\frac{AG'}{G'M}=\frac{AH}{OM}=2\implies G'\equiv G$.
$\implies H,G,O$ thẳng hàng và ta có: $\frac{HG}{GO}=\frac{AH}{OM}=2$.
$\implies S_{AHG}=2.S_{AGO}(dpcm)$.