Chủ đề này có 1 trả lời

[moriran]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa $a+ b+ c= 9$. Chứng minh BĐT $\frac{a}{\sqrt{a+ 2b}}+ \frac{b}{\sqrt{b+ 2c}}+ \frac{c}{\sqrt{c+ 2a}}\geq 3$

[ThuThao36]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa $a+ b+ c= 9$. Chứng minh BĐT $\frac{a}{\sqrt{a+ 2b}}+ \frac{b}{\sqrt{b+ 2c}}+ \frac{c}{\sqrt{c+ 2a}}\geq 3$

$\frac{a}{\sqrt{a+2b}}=\frac{3a}{\sqrt{9}.\sqrt{a+2b}} \geq \frac{6a}{a+2b+9}$

Tương tự với các phân thức còn lại

$VT\geq 6(\frac{a}{a+2b+9}+\frac{b}{b+2c+9}+\frac{c}{c+2a+9})$

$=6(\frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+9a}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2bc+9b}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2ca+9c})$

$\geq 6\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+9(a+b+c)}=6.\frac{9^{2}}{9^{2}+9.9}=3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3