Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$



#2
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

.



#3
nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết

Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau: Cho $a,b>0$, ta có

$$\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$

Ta có $\sqrt{\frac{a}{a+3b}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a+b}{a+3b}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b} \right)$

$\sqrt{\frac{b}{a+3b}}=\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{2b}{a+3b}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b} \right)$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta được $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}$.

Tương tự ta có $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+3}} \leq \frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}$.

Do đó $(\sqrt{a}+\sqrt{b})\left( \frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}} \right) \leq \frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}+\frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}=2$ nên ta có đpcm.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2b}{a+3b}=\frac{2a}{3a+b}=\frac{1}{2}$ hay $a=b$.

 

Áp dụng: Dễ thấy $x \geq 0$ (đkxđ) mà $x=0$ không phải là nghiệm nên $x>0$.

Từ BĐT trên (với $a=x, b=1$) suy ra dấu $=$ xảy ra, hay $x=1$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh