Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$
Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$
#1
Posted 05-03-2018 - 21:50
#2
Posted 10-03-2018 - 00:15
.
#3
Posted 14-03-2018 - 21:29
Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau: Cho $a,b>0$, ta có
$$\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
Ta có $\sqrt{\frac{a}{a+3b}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a+b}{a+3b}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b} \right)$
$\sqrt{\frac{b}{a+3b}}=\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{2b}{a+3b}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b} \right)$
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta được $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}$.
Tương tự ta có $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{3a+3}} \leq \frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}$.
Do đó $(\sqrt{a}+\sqrt{b})\left( \frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}} \right) \leq \frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}+\frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}=2$ nên ta có đpcm.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2b}{a+3b}=\frac{2a}{3a+b}=\frac{1}{2}$ hay $a=b$.
Áp dụng: Dễ thấy $x \geq 0$ (đkxđ) mà $x=0$ không phải là nghiệm nên $x>0$.
Từ BĐT trên (với $a=x, b=1$) suy ra dấu $=$ xảy ra, hay $x=1$.
- bigway1906 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users