Chủ đề này có 1 trả lời

[doctor lee]

cho các số thực x,y,z tm x+y+z=xyz

và x>1,y>1,z>1

cmr $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq 1$

và tim min p= $\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}$$\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}$

nguồn https://diendan.hocm...95_o-jpg.45358/

[Tea Coffee]

$\frac{x+y+z}{xyz}=1<=>\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac=>\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P=\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}=\frac{(x-1)+(y-1)}{y^{2}}+\frac{(y-1)+(z-1)}{z^{2}}+\frac{(z-1)+(x-1)}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})=(x-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}})+(y-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+(z-1)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}) -(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{2(x-1)}{xy} +\frac{2(y-1)}{yz}+\frac{2(z-1)}{xz} -(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+1=\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy})+1$

Dễ dàng tìm được min $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$