Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh:
$(ab+bc+ca)\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^2\geq 27$
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh:
$(ab+bc+ca)\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^2\geq 27$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
BĐT chặt hơn:
$a, b, c> 0$, $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= a+ b+ c$
CM: $\sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{ab+ bc+ ca}}$
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: $\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right) \geqslant (ab+bc+ca)^3$ $\Leftrightarrow \left(ab+bc+ca\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2 \geqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
Ta cần chứng minh:$\left(ab+bc+ca\right)^4 \geqslant 27\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)$
Đặt $t=ab+bc+ca$, do $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ nên $ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)$
Khi đó: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)=t^2-2t$
Vậy ta quy về chứng minh: $t^4 \geqslant 27(t^2-2t) \Leftrightarrow t(t+6)(t-3)^2 \geqslant 0(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 14-05-2021 - 11:53
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh