Đến nội dung

Hình ảnh

$(ab+bc+ca)\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^2\geq 27$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:

 

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Chứng minh: 

 

$(ab+bc+ca)\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^2\geq 27$

 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

BĐT chặt hơn: 

$a, b, c> 0$, $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= a+ b+ c$

CM: $\sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{ab+ bc+ ca}}$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: $\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right) \geqslant (ab+bc+ca)^3$ $\Leftrightarrow \left(ab+bc+ca\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2 \geqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

Ta cần chứng minh:$\left(ab+bc+ca\right)^4 \geqslant 27\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)$

Đặt $t=ab+bc+ca$, do $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ nên $ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)$

Khi đó: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)=t^2-2t$

Vậy ta quy về chứng minh: $t^4 \geqslant 27(t^2-2t) \Leftrightarrow t(t+6)(t-3)^2 \geqslant 0(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 14-05-2021 - 11:53

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh