Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
#1
Đã gửi 07-03-2018 - 05:54
#2
Đã gửi 12-03-2018 - 08:14
Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$
Trước hết, ta chứng minh $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$ (1)
Thật vậy, ta có $(1-x)^p=C_p^0-C_p^1x+C_p^2x^2-C_p^3x^3+...+(-1)^pC_p^px^p$
Đạo hàm 2 vế : $-p(1-x)^{p-1}=-C_p^1+2C_p^2x-3C_p^3x^2+...+(-1)^p.p.C_p^px^{p-1}$
Cho $x=1$ suy ra $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$
Bây giờ ta tính $S$ :
$S=-\frac{C_n^1}{2.3}+\frac{2C_n^2}{3.4}-\frac{3C_n^3}{4.5}+...+\frac{(-1)^n.n.C_n^n}{(n+1)(n+2)}$
$=-\frac{n}{3!}+\frac{2n(n-1)}{4!}-\frac{3n(n-1)(n-2)}{5!}+...+\frac{(-1)^n.n.n!}{(n+2)!}$
$(n+1)(n+2)S=-C_{n+2}^3+2C_{n+2}^4-3C_{n+2}^5+...+(-1)^n.n.C_{n+2}^{n+2}$ (2)
Mặt khác $M=C_{n+2}^0-C_{n+2}^1+C_{n+2}^2-...+(-1)^n.C_{n+2}^{n+2}=0$
$(n+1)(n+2)S=(n+1)(n+2)S+2M$
$=2C_{n+2}^0-2C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+4C_{n+2}^4-5C_{n+2}^5+...+(-1)^n(n+2)C_{n+2}^{n+2}$
$=2C_{n+2}-C_{n+2}^1+[-C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+...+(-1)^n(n+2).C_{n+2}^{n+2}]$
Từ (1) suy ra biểu thức trong móc vuông bằng $0$. Vậy :
$(n+1)(n+2)S=2C_{n+2}^0-C_{n+2}^1=2-(n+2)=-n\Rightarrow S=-\frac{n}{(n+1)(n+2)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-03-2018 - 08:24
- Katyusha yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh