Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$

[chanhquocnghiem]

Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$

Trước hết, ta chứng minh $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$ (1)

Thật vậy, ta có $(1-x)^p=C_p^0-C_p^1x+C_p^2x^2-C_p^3x^3+...+(-1)^pC_p^px^p$

Đạo hàm 2 vế : $-p(1-x)^{p-1}=-C_p^1+2C_p^2x-3C_p^3x^2+...+(-1)^p.p.C_p^px^{p-1}$

Cho $x=1$ suy ra $-C_p^1+2C_p^2-3C_p^3+...+(-1)^p.p.C_p^p=0$

Bây giờ ta tính $S$ :

$S=-\frac{C_n^1}{2.3}+\frac{2C_n^2}{3.4}-\frac{3C_n^3}{4.5}+...+\frac{(-1)^n.n.C_n^n}{(n+1)(n+2)}$

$=-\frac{n}{3!}+\frac{2n(n-1)}{4!}-\frac{3n(n-1)(n-2)}{5!}+...+\frac{(-1)^n.n.n!}{(n+2)!}$

$(n+1)(n+2)S=-C_{n+2}^3+2C_{n+2}^4-3C_{n+2}^5+...+(-1)^n.n.C_{n+2}^{n+2}$ (2)

Mặt khác $M=C_{n+2}^0-C_{n+2}^1+C_{n+2}^2-...+(-1)^n.C_{n+2}^{n+2}=0$

$(n+1)(n+2)S=(n+1)(n+2)S+2M$

$=2C_{n+2}^0-2C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+4C_{n+2}^4-5C_{n+2}^5+...+(-1)^n(n+2)C_{n+2}^{n+2}$

$=2C_{n+2}-C_{n+2}^1+[-C_{n+2}^1+2C_{n+2}^2-3C_{n+2}^3+...+(-1)^n(n+2).C_{n+2}^{n+2}]$

Từ (1) suy ra biểu thức trong móc vuông bằng $0$. Vậy :

$(n+1)(n+2)S=2C_{n+2}^0-C_{n+2}^1=2-(n+2)=-n\Rightarrow S=-\frac{n}{(n+1)(n+2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-03-2018 - 08:24