Chủ đề này có 2 trả lời

[huyqhx9]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mạn x+y+z =3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

minP=$\sum \frac{x^{2}}{2y^{3}+x}$

[Tea Coffee]

$P=\sum \frac{x^{2}}{2y^{3}+x}=\sum \frac{x(x+2y^{3}-2y^{3})}{2y^{3}+x} =\sum x-\frac{2xy^{3}}{2y^{3}+x}\geq \sum x-\frac{2xy^{3}}{3y^{2}\sqrt[3]{x}} =\sum x-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{x^{2}}y=(x+y+z)-\frac{2}{3}(y\sqrt[3]{x^{2}}+z\sqrt[3]{y^{2}}+x\sqrt[3]{z^{2}})$

Lại có $y\sqrt[3]{x^{2}}+z\sqrt[3]{y^{2}}+x\sqrt[3]{z^{2}}\leq \frac{xy+xy+y}{3}+\frac{yz+yz+z}{3}+\frac{xz+xz+x}{3}=1+\frac{2}{3}(xy+yz+xz)\leq 1+\frac{2}{3}.\frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 07-03-2018 - 23:31

[VuongKaKa]

Ta có: $x-\frac{x^{2}}{2y^{3}+x}= \frac{2y^{3}x}{2y^{3}+x}\leq \frac{2y^{3}x}{3y^{2}\sqrt[3]{x}}=\frac{2}{3} y\sqrt[3]{x^{2}}=\frac{2}{3} \frac{yx+yx+y}{3}$

cmtt

$3-P\leq \frac{2}{9} (yx+yx+y+x+z+2xy+2yz)\leq \frac{2}{9} . 9=2 \Rightarrow P\geq 1$