Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phương
Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phương
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số nguyên tố.
Mình nghĩ đề là số nguyên tố thì đứng hơn: đây là lời giải của mình.
bài làm
Giả sử M=$a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số nguyên tố và $a\geq b$.
+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}}\notin \mathbb{Q}$ thì $a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số vô tỉ.(Mâu thuẫn).
+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Q}$ mà $ab+c^{2} \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+b -2\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Z}$ và $M \in \mathbb{N}$
Ta có $M=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}} = \frac{(a+b)^{2}- 4(ab+c^{2})}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
$= \frac{(a-b)^{2}-4c^{2}}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
$= \frac{(a-b-2c)(a-b+2c)}{a+b- 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
Đặt $a-b-2c=x , a-b+2c = y , a+b-2\sqrt{ab+c^{2}}= z$ $(x;y;z \in \mathbb{Z})$
Suy ra $M=\frac{xy}{z}$
Vì $M\in \mathbb{Z}$ nên tồn tại 2 số nguyên $k,k' \in \mathbb{Z}$ sao cho $z=k.k'$ và $x\vdots k, y\vdots k'$
Suy ra $x=k.p; y=k'q$ $(p,q\in \mathbb{Z})$ suy ra $M= p.q$
+) Xét $p=1$ thì $x=k \Rightarrow z\vdots x$.
=> đpcm.
cách khác cho TH2:
$(a+b-M)^2=4(c^2+ab)$ $\Leftrightarrow (a-b-2c)(a-b+2c)=M(2a+2b-M)$ . Nhưng $M\ge a+b+2c$ ( theo điều kiện của M).
Do đó $M\ge(a-b+2c)\ge(a-b-2c)$ . Mặt khác $x\mid(a-b-2c)(a-b+2c)$ vì thế M ko phải là số nguyên tố . (Q.E.D).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 18-03-2018 - 09:52
"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$5^p+p^3$Bắt đầu bởi Khoa Linh, 25-10-2018 scp, snt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 12-08-2018 scp, số chính phương, chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$P=\frac{(m+n)^2}{4\left [m(m-n)^2+1 \right ]}$ là số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 28-05-2018 scp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b là 2 số nguyên thoả mãnBắt đầu bởi BurakkuYokuro11, 23-05-2018 số học, scp, burakkuyokuro11 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y$ và $y^2+x$ là hai số chính phươngBắt đầu bởi Khoa Linh, 06-03-2018 scp |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh