Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phương

scp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 08-03-2018 - 12:11

Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số chính phương 

 


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#2 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 18-03-2018 - 09:39

Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không là số nguyên tố.

 Mình nghĩ đề là số nguyên tố thì đứng hơn: đây là lời giải của mình.

                                                                           bài làm

Giả sử M=$a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số nguyên tố và $a\geq b$.

+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}}\notin \mathbb{Q}$ thì $a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số vô tỉ.(Mâu thuẫn).

+) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}} \in  \mathbb{Q}$ mà $ab+c^{2} \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+b -2\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Z}$ và $M \in \mathbb{N}$

Ta có $M=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}} = \frac{(a+b)^{2}- 4(ab+c^{2})}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

                                            $= \frac{(a-b)^{2}-4c^{2}}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

                                            $= \frac{(a-b-2c)(a-b+2c)}{a+b- 2\sqrt{ab+c^{2}}}$

Đặt $a-b-2c=x , a-b+2c = y , a+b-2\sqrt{ab+c^{2}}= z$ $(x;y;z \in \mathbb{Z})$

Suy ra $M=\frac{xy}{z}$ 

 Vì $M\in \mathbb{Z}$ nên tồn tại 2 số nguyên $k,k' \in \mathbb{Z}$ sao cho $z=k.k'$ và $x\vdots k, y\vdots k'$

Suy ra $x=k.p; y=k'q$ $(p,q\in \mathbb{Z})$ suy ra $M= p.q$

+) Xét $p=1$ thì $x=k \Rightarrow z\vdots x$.

=> đpcm.

cách khác cho TH2:

$(a+b-M)^2=4(c^2+ab)$ $\Leftrightarrow (a-b-2c)(a-b+2c)=M(2a+2b-M)$ . Nhưng $M\ge a+b+2c$ ( theo điều kiện của M).

Do đó  $M\ge(a-b+2c)\ge(a-b-2c)$ . Mặt khác  $x\mid(a-b-2c)(a-b+2c)$ vì thế M ko phải là số nguyên tố . (Q.E.D).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 18-03-2018 - 09:52

"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh