Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c là nghiệm của phương trình: 

$2x^3-9x^2+6x-1$.

Tính giá trị biểu thức:

$A=\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}$

[Tea Coffee]

Do $a,b,c$ là nghiệm của phương trình $2x^{3}-9x^{2}+6x-1=0=>2x^{3}-9x^{2}+6x-1=2(x-a)(x-b)(x-c)<=> \left\{\begin{matrix}a+b+c=\frac{9}{2} \\ ab+bc+ac=3 \\ abc=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$A=\sum \frac{a^{5}-b^{5}}{a-b}=ab(a+b)(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2c}.(\frac{9}{2}-c)(\frac{57}{4}-c^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 08-03-2018 - 22:17

[nmtuan2001]

Cho a, b, c là nghiệm của phương trình: 

$2x^3-9x^2+6x-1$.

Tính giá trị biểu thức:

$A=\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}$

Ta có $A=\sum (a^4+b^4+a^3b+ab^3+a^2b^2)=2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)+\sum a^2b^2$

Định lý Viét: $a+b+c=\frac{9}{2}, ab+bc+ca=3, abc=\frac{1}{2}$.

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=\frac{81}{4}-6=\frac{57}{4}$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=9-2.\frac{1}{2}.\frac{9}{2}=\frac{9}{2}$

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(\frac{57}{4})^2-9=\frac{3105}{16}$

$\sum ab(a^2+b^2)=(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)-abc(a+b+c)=3.\frac{57}{4}-\frac{1}{2}.\frac{9}{2}=\frac{81}{2}$

Suy ra $A=\frac{3105}{8}+\frac{81}{2}+\frac{9}{2}=433\frac{1}{8}$.