Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho x, y, z dương sao cho x+y+z=1. 

CMR:

 $9xyz+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+2(xy+yz+zx)\geq 2$

 

p/s: BĐT khá mạnh, mình làm mãi không được 

[nmtuan2001]

Cho x, y, z dương sao cho x+y+z=1. 

CMR:

 $9xyz+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+2(xy+yz+zx)\geq 2$

 

p/s: BĐT khá mạnh, mình làm mãi không được 

$$(\sum \frac{xy}{z})(x+y+z)^2=\sum \frac{xy(x+y)^2}{z}+3xyz+2\sum xy(x+y)$$

$$2(xy+yz+zx)(x+y+z)=2\sum xy(x+y)+6xyz$$

$$2(x+y+z)^3=2(x^3+y^3+z^3)+12xyz+6\sum xy(x+y)$$

BĐT trở thành $\sum \frac{xy(x+y)^2}{z}+6xyz \geq 2(x^3+y^3+z^3)+2\sum xy(x+y)$.

$$\sum \frac{xy(x+y)^2}{z}=\sum x^3(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+2\sum \frac{x^2y^2}{z} \geq 2\sum x^3+2\sum \frac{x^2y^2}{z}$$

Cần chứng minh: $\sum \frac{x^2y^2}{z}+3xyz \geq \sum xy(x+y)$, hay

$$\sum x^3y^3+3x^2y^2z^2 \geq xyz\sum xy(x+y)$$

Đây chính là BĐT Schur cho 3 số $xy,yz,zx$ nên ta có đpcm.