a)
$MD$ cắt $(O)$ tại $G$, $MH$ cắt $(O)$ tại $C$
$\widehat{BMG} =\widehat{HFE}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
$=\widehat{CMA}$ (vì tứ giác $HFME$ nội tiếp
$\Rightarrow GB =CA$
tứ giác $ABGC$ nội tiếp và có $AC =BG$
$\Rightarrow ABGC$ là hình thang cân và $GC //AB$
$\Rightarrow GC\perp MH$
$\Rightarrow\widehat{GCM} =90^\circ$
$\Rightarrow MG$ là đường kính
$\Rightarrow MD$ luôn đi qua điểm cố định $O$
b)
$\triangle HAM\sim\triangle HCB$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AM}{CB} =\frac{AH}{CH}$ (1)
$\triangle HAC\sim\triangle HMB$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AC}{BM} =\frac{HC}{HB}$ (2)
nhân (1, 2) vế theo vế ta được
$\frac{AH}{BH} =\frac{AM}{BM} .\frac{AC}{BC}$ (3)
$\triangle DAM\sim\triangle DGB$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AM}{GB} =\frac{DA}{DG}$ (4)
$\triangle DAG\sim\triangle DMB$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AG}{MB} =\frac{DG}{DB}$ (5)
nhân (4, 5) vế theo vế được
$\frac{AD}{BD} =\frac{AM}{BM} .\frac{AG}{BG}$ (6)
nhân (3, 6) vế theo vế ta được
$\frac{AH}{BH} .\frac{AD}{BD} =\frac{AM^2}{BM^2} .\frac{AC}{BC} .\frac{AG}{BG}$
mà $ABGC$ lầ hình thang cân nên $AC =BG, AG =BC$
$\Rightarrow\frac{AC}{BC} .\frac{AG}{BG} =1$
$\Rightarrow\frac{AH}{BH} .\frac{AD}{BD} =\frac{AM^2}{BM^2}$