Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$
  • Sở thích:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$

Đã gửi 10-03-2018 - 22:09

  1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
  2. Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$
  3. x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm  $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$
  4. a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$
  5. a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm  $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$


#2 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$
  • Sở thích:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$

Đã gửi 12-03-2018 - 22:50

 

  1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

không chắc lắm nhờ các bn suy nghĩ tiếp

 

 

2.Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$

$VT^2\leq 3(\sum \frac{(a+b)^2}{x^2+y^2+zx+zy})\leq [3\sum (\frac{x^2}{x(x+z)}+\frac{y^2}{y(y+z)}]$=9



#3 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$
  • Sở thích:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$

Đã gửi 12-03-2018 - 22:58

 

3. x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm  $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$

$VT=\frac{4}{x^2+y^2+3yz}+\frac{4}{y^2+z^2+3zx}+\frac{4}{z^2+x^2+3xy}+\frac{\frac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz}+\frac{\frac{5}{y}}{y^2+z^2+3zx}+\frac{\frac{5}{z}}{z^2+x^2+3xy}$

$....\rightarrow$ Áp dụng BCS dạng phân thức ok :D



#4 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 13-03-2018 - 13:45

 

1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

1. Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$, hay

$$(a^2+1)(a-2)+2 \geq 0$$

$$a(a-1)^2 \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng. Do đó $\sum \frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 13-03-2018 - 13:46


#5 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$
  • Sở thích:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$

Đã gửi 14-03-2018 - 21:45

thôi còn câu 4,5 mk post nốt để các bạn cùng xem

 

 

4. a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$

 

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ nên $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq 1\rightarrow$ ta cần cm

$\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}\leq 1$

$\Leftrightarrow\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}+2\leq 3$

$\Leftrightarrow\sum (1-\frac{ab}{a^2+ab+bc})\geq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+bc}{a^2+ab+bc}\geq 2$

....tách ra rồi BCS tiếp...

Spoiler



#6 Leuleudoraemon

Leuleudoraemon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$
  • Sở thích:${\color{Green} MONKEY}{\color{DarkBlue} LAND}$

Đã gửi 14-03-2018 - 21:53

 

5. a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm  $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$

 

ai có cách nào hay giúp em với

cách em không hay lắm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 14-03-2018 - 21:54


#7 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-03-2018 - 08:02

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 15-03-2018 - 08:03


#8 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 742 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên
  • Sở thích:collect inequalities

Đã gửi 15-03-2018 - 09:45

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 3$



#9 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 742 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên
  • Sở thích:collect inequalities

Đã gửi 15-03-2018 - 10:21

$$3\sum \frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}= 3\sum a+ 3.\frac{\left ( a- b \right )^{2}}{2\left ( a+ b \right )}+ \frac{\left ( b- c \right )^{2}}{2\left ( b+ c \right )}+ \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{2\left ( a+ c \right )}$$

$$\geq 3\sum a+ \sum \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{a+ b+ c}= \sum \left ( \frac{9}{2\left ( a+ b+ c \right )}+ \frac{a+ b+ c}{2}+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )}{a+ b+ c} \right )$$

$$\geq 9+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )+ \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )+ \left ( c- a \right )\left ( a- b \right )}{a+ b+ c}\geq 9$$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh