Chủ đề này có 8 trả lời

[Leuleudoraemon]

1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
2. Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$
3. x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm  $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$
4. a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$
5. a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm  $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$

[Leuleudoraemon]

 

1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

không chắc lắm nhờ các bn suy nghĩ tiếp

 

 

2.Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$

$VT^2\leq 3(\sum \frac{(a+b)^2}{x^2+y^2+zx+zy})\leq [3\sum (\frac{x^2}{x(x+z)}+\frac{y^2}{y(y+z)}]$=9

[Leuleudoraemon]

 

3. x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm  $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$

$VT=\frac{4}{x^2+y^2+3yz}+\frac{4}{y^2+z^2+3zx}+\frac{4}{z^2+x^2+3xy}+\frac{\frac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz}+\frac{\frac{5}{y}}{y^2+z^2+3zx}+\frac{\frac{5}{z}}{z^2+x^2+3xy}$

$....\rightarrow$ Áp dụng BCS dạng phân thức ok

[nmtuan2001]

 

1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

1. Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$, hay

$$(a^2+1)(a-2)+2 \geq 0$$

$$a(a-1)^2 \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng. Do đó $\sum \frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 13-03-2018 - 13:46

[Leuleudoraemon]

thôi còn câu 4,5 mk post nốt để các bạn cùng xem

 

 

4. a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$

 

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ nên $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq 1\rightarrow$ ta cần cm

$\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}\leq 1$

$\Leftrightarrow\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}+2\leq 3$

$\Leftrightarrow\sum (1-\frac{ab}{a^2+ab+bc})\geq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+bc}{a^2+ab+bc}\geq 2$

....tách ra rồi BCS tiếp...

Spoiler

mong các bạn giúp mk với chứ tự up tự giải thế này chán lắm
mà đi thi họ ra có phức tạp không nhỉ????

[Leuleudoraemon]

 

5. a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm  $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$

 

ai có cách nào hay giúp em với

cách em không hay lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 14-03-2018 - 21:54

[HelpMeImDying]

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 15-03-2018 - 08:03

[DOTOANNANG]

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 3$

[DOTOANNANG]

$$3\sum \frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}= 3\sum a+ 3.\frac{\left ( a- b \right )^{2}}{2\left ( a+ b \right )}+ \frac{\left ( b- c \right )^{2}}{2\left ( b+ c \right )}+ \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{2\left ( a+ c \right )}$$

$$\geq 3\sum a+ \sum \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{a+ b+ c}= \sum \left ( \frac{9}{2\left ( a+ b+ c \right )}+ \frac{a+ b+ c}{2}+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )}{a+ b+ c} \right )$$

$$\geq 9+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )+ \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )+ \left ( c- a \right )\left ( a- b \right )}{a+ b+ c}\geq 9$$