- Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
- Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$
- x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$
- a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$
- a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$
$\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
#1
Đã gửi 10-03-2018 - 22:09
- Tea Coffee, doctor lee, doraemon123 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 12-03-2018 - 22:50
- Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
không chắc lắm nhờ các bn suy nghĩ tiếp
2.Cho x,y,z.>0. Cm: $\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+zx+zy}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+xy+xz}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+yz+xy}}\leq 3$
$VT^2\leq 3(\sum \frac{(a+b)^2}{x^2+y^2+zx+zy})\leq [3\sum (\frac{x^2}{x(x+z)}+\frac{y^2}{y(y+z)}]$=9
- nmtuan2001, Tea Coffee, doraemon123 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 12-03-2018 - 22:58
3. x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Cm $\sum \frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}\geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$
$VT=\frac{4}{x^2+y^2+3yz}+\frac{4}{y^2+z^2+3zx}+\frac{4}{z^2+x^2+3xy}+\frac{\frac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz}+\frac{\frac{5}{y}}{y^2+z^2+3zx}+\frac{\frac{5}{z}}{z^2+x^2+3xy}$
$....\rightarrow$ Áp dụng BCS dạng phân thức ok
- nmtuan2001, MarkGot7, Tea Coffee và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 13-03-2018 - 13:45
1. Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$: CM; $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
1. Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$, hay
$$(a^2+1)(a-2)+2 \geq 0$$
$$a(a-1)^2 \geq 0$$
BĐT hiển nhiên đúng. Do đó $\sum \frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 13-03-2018 - 13:46
- Tea Coffee, buingoctu, Leuleudoraemon và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 14-03-2018 - 21:45
thôi còn câu 4,5 mk post nốt để các bạn cùng xem
4. a,b,c>0. Cm $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}$
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ nên $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq 1\rightarrow$ ta cần cm
$\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}\leq 1$
$\Leftrightarrow\frac{ab}{a^2+ab+bc}+\frac{bc}{b^2+bc+ca}+\frac{ca}{c^2+ca+ab}+2\leq 3$
$\Leftrightarrow\sum (1-\frac{ab}{a^2+ab+bc})\geq 2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+bc}{a^2+ab+bc}\geq 2$
....tách ra rồi BCS tiếp...
- nmtuan2001, doraemon123 và pokemon6723 thích
#6
Đã gửi 14-03-2018 - 21:53
5. a,b,c>0 tm $a^2+b^2+c^2=3$. Cm $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq 3$
ai có cách nào hay giúp em với
cách em không hay lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 14-03-2018 - 21:54
#7
Đã gửi 15-03-2018 - 08:02
Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 15-03-2018 - 08:03
- nmtuan2001, Tea Coffee, Leuleudoraemon và 1 người khác yêu thích
#8
Đã gửi 15-03-2018 - 09:45
Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})}{2(a+b+c)} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\frac{\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}= \frac{3}{a+b+c}+\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3$
$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 3$
- INXANG, moriran, dai101001000 và 1 người khác yêu thích
#9
Đã gửi 15-03-2018 - 10:21
$$3\sum \frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}= 3\sum a+ 3.\frac{\left ( a- b \right )^{2}}{2\left ( a+ b \right )}+ \frac{\left ( b- c \right )^{2}}{2\left ( b+ c \right )}+ \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{2\left ( a+ c \right )}$$
$$\geq 3\sum a+ \sum \frac{\left ( a- c \right )^{2}}{a+ b+ c}= \sum \left ( \frac{9}{2\left ( a+ b+ c \right )}+ \frac{a+ b+ c}{2}+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )}{a+ b+ c} \right )$$
$$\geq 9+ \frac{\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )+ \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )+ \left ( c- a \right )\left ( a- b \right )}{a+ b+ c}\geq 9$$
- Leuleudoraemon, INXANG, moriran và 2 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh