Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geq \frac{3}{2}$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 dai101001000

dai101001000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nha Trang, Khánh Hòa
  • Sở thích:anime

Đã gửi 11-03-2018 - 08:38

Cho $a, b, c>0$ & $a+ b+ c= 3$ CMR $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geq \frac{3}{2}$



#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 12-03-2018 - 10:03

Cho $a, b, c>0$ & $a+ b+ c= 3$ CMR $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geq \frac{3}{2}$

Quy đồng: $2\sum a(b+ca)(c+ab) \geq 3(a+bc)(b+ca)(c+ab)$, hay

$$2\sum (abc+a^3bc+a^2b^2+c^2a^2) \geq 3(abc+a^2b^2c^2+\sum a^2b^2+\sum a^3bc)$$

$$3abc+\sum a^2b^2 \geq \sum abc(a^2+b^2+c^2)+3a^2b^2c^2$$

Mà $abc(a^2+b^2+c^2)=abc(a+b+c)^2-2abc(ab+bc+ca)=9abc-2abc(ab+bc+ca)$ nên BĐT tương đương với:

$$\sum a^2b^2+2abc(ab+bc+ca) \geq 6abc+3a^2b^2c^2$$

Ta có $\sum a^2b^2 \geq abc(a+b+c)=3abc$ và $ab+bc+ca \geq \frac{9abc}{a+b+c}=3abc$ nên $VT \geq 9abc$.

Vì $abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3=1$ nên $a^2b^2c^2 \leq abc$, suy ra $VP \leq 9abc$.

Do đó ta có đpcm.



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 19-11-2018 - 21:03

Cho $a,\,b,\,c> 0,\,abc= 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geqq \frac{3}{2}$$



#4 ducminions2004

ducminions2004

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 19-11-2018 - 23:03

Ta có : a/(a+bc) + b/(b+ca) + c/(c+ab)
= a^2/(a^2+abc) + b^2/(b^2+abc) + c^2/(c^2+abc)
= a^2/(a^2+1) + b^2/(b^2+1) + c^2/(c^2+1) (vì abc=1)
= 1 - 1/(a^2+1) +1 - 1/(b^2+1) +1 - 1/(c^2+1)
= 3 - [ 1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) + 1/(c^2+1) ]
》 3 - ( 1/2a + 1/2b + 1/2c ) (Bất đẳng thức Côsi)
= 3 -[ ( ab + bc + ca )/2abc ]
= 3 - [ (ab + bc + ca )/2 ] ( vì abc=1) ☺
Lại có : (a+b+c)^2 》 3(ab+bc+ca)=3(1/a + 1/b +1/c) ( vì abc =1)
》27/(a+b+c) (vì 1/a +1/b +1/c 》9/a+b+c )
Suy ra : (a+b+c)^3》27 -> (a+b+c)》3 -> (ab+bc+ca)《(a+b+c)^2/3 = 3^2/3 =3
Do đó : ☺ 》 3 - 3/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mình nghĩ bài mình còn hơi dài . Bạn hãy dựa vào bài làm này để nghĩ thêm cách khác ngắn gọn hơn nhé . Đây là lần đầu tiên mình trả lời câu hỏi trên DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC có sai sót gì mong mọi người thông cảm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducminions2004: 19-11-2018 - 23:05


#5 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 02-12-2018 - 18:00

Ta có : a/(a+bc) + b/(b+ca) + c/(c+ab)
= a^2/(a^2+abc) + b^2/(b^2+abc) + c^2/(c^2+abc)
= a^2/(a^2+1) + b^2/(b^2+1) + c^2/(c^2+1) (vì abc=1)
= 1 - 1/(a^2+1) +1 - 1/(b^2+1) +1 - 1/(c^2+1)
= 3 - [ 1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) + 1/(c^2+1) ]
》 3 - ( 1/2a + 1/2b + 1/2c ) (Bất đẳng thức Côsi)
= 3 -[ ( ab + bc + ca )/2abc ]
= 3 - [ (ab + bc + ca )/2 ] ( vì abc=1) ☺
Lại có : (a+b+c)^2 》 3(ab+bc+ca)=3(1/a + 1/b +1/c) ( vì abc =1)
》27/(a+b+c) (vì 1/a +1/b +1/c 》9/a+b+c )
Suy ra : (a+b+c)^3》27 -> (a+b+c)》3 -> (ab+bc+ca)《(a+b+c)^2/3 = 3^2/3 =3
Do đó : ☺ 》 3 - 3/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mình nghĩ bài mình còn hơi dài . Bạn hãy dựa vào bài làm này để nghĩ thêm cách khác ngắn gọn hơn nhé . Đây là lần đầu tiên mình trả lời câu hỏi trên DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC có sai sót gì mong mọi người thông cảm .

bài của bạn làm sai rồi ngay khúc ab+bc+ac <= 3 là sai rồi 



#6 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam

Đã gửi 08-12-2018 - 17:12

Cho $a,\,b,\,c> 0,\,abc= 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geqq \frac{3}{2}$$

Hình như là đẳng thức với mọi a,b,c



#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 08-12-2018 - 18:22

Hình như là đẳng thức với mọi $a,\,b,\,c$ (!)

$$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\xrightarrow[= ]{b= \frac{1}{3},\,c= \frac{3}{a}}= \frac{11\,a^{\,4}+ 190\,a^{\,2}+ 99}{10\left ( a^{\,4}+ 10\,a^{\,2}+ 9 \right )}$$ 

 

Với $a= 1$ thì: $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}= \frac{bc+ 2}{bc+ 1}= \frac{3}{2}$ (!)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh