Chủ đề này có 6 trả lời

[dai101001000]

Cho $a, b, c>0$ & $a+ b+ c= 3$ CMR $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geq \frac{3}{2}$

[nmtuan2001]

Cho $a, b, c>0$ & $a+ b+ c= 3$ CMR $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geq \frac{3}{2}$

Quy đồng: $2\sum a(b+ca)(c+ab) \geq 3(a+bc)(b+ca)(c+ab)$, hay

$$2\sum (abc+a^3bc+a^2b^2+c^2a^2) \geq 3(abc+a^2b^2c^2+\sum a^2b^2+\sum a^3bc)$$

$$3abc+\sum a^2b^2 \geq \sum abc(a^2+b^2+c^2)+3a^2b^2c^2$$

Mà $abc(a^2+b^2+c^2)=abc(a+b+c)^2-2abc(ab+bc+ca)=9abc-2abc(ab+bc+ca)$ nên BĐT tương đương với:

$$\sum a^2b^2+2abc(ab+bc+ca) \geq 6abc+3a^2b^2c^2$$

Ta có $\sum a^2b^2 \geq abc(a+b+c)=3abc$ và $ab+bc+ca \geq \frac{9abc}{a+b+c}=3abc$ nên $VT \geq 9abc$.

Vì $abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3=1$ nên $a^2b^2c^2 \leq abc$, suy ra $VP \leq 9abc$.

Do đó ta có đpcm.

[DOTOANNANG]

Cho $a,\,b,\,c> 0,\,abc= 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geqq \frac{3}{2}$$

[ducminions2004]

Ta có : a/(a+bc) + b/(b+ca) + c/(c+ab)
= a^2/(a^2+abc) + b^2/(b^2+abc) + c^2/(c^2+abc)
= a^2/(a^2+1) + b^2/(b^2+1) + c^2/(c^2+1) (vì abc=1)
= 1 - 1/(a^2+1) +1 - 1/(b^2+1) +1 - 1/(c^2+1)
= 3 - [ 1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) + 1/(c^2+1) ]
》 3 - ( 1/2a + 1/2b + 1/2c ) (Bất đẳng thức Côsi)
= 3 -[ ( ab + bc + ca )/2abc ]
= 3 - [ (ab + bc + ca )/2 ] ( vì abc=1) ☺
Lại có : (a+b+c)^2 》 3(ab+bc+ca)=3(1/a + 1/b +1/c) ( vì abc =1)
》27/(a+b+c) (vì 1/a +1/b +1/c 》9/a+b+c )
Suy ra : (a+b+c)^3》27 -> (a+b+c)》3 -> (ab+bc+ca)《(a+b+c)^2/3 = 3^2/3 =3
Do đó : ☺ 》 3 - 3/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mình nghĩ bài mình còn hơi dài . Bạn hãy dựa vào bài làm này để nghĩ thêm cách khác ngắn gọn hơn nhé . Đây là lần đầu tiên mình trả lời câu hỏi trên DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC có sai sót gì mong mọi người thông cảm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducminions2004: 19-11-2018 - 23:05

[vmf999]

Ta có : a/(a+bc) + b/(b+ca) + c/(c+ab)
= a^2/(a^2+abc) + b^2/(b^2+abc) + c^2/(c^2+abc)
= a^2/(a^2+1) + b^2/(b^2+1) + c^2/(c^2+1) (vì abc=1)
= 1 - 1/(a^2+1) +1 - 1/(b^2+1) +1 - 1/(c^2+1)
= 3 - [ 1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) + 1/(c^2+1) ]
》 3 - ( 1/2a + 1/2b + 1/2c ) (Bất đẳng thức Côsi)
= 3 -[ ( ab + bc + ca )/2abc ]
= 3 - [ (ab + bc + ca )/2 ] ( vì abc=1) ☺
Lại có : (a+b+c)^2 》 3(ab+bc+ca)=3(1/a + 1/b +1/c) ( vì abc =1)
》27/(a+b+c) (vì 1/a +1/b +1/c 》9/a+b+c )
Suy ra : (a+b+c)^3》27 -> (a+b+c)》3 -> (ab+bc+ca)《(a+b+c)^2/3 = 3^2/3 =3
Do đó : ☺ 》 3 - 3/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mình nghĩ bài mình còn hơi dài . Bạn hãy dựa vào bài làm này để nghĩ thêm cách khác ngắn gọn hơn nhé . Đây là lần đầu tiên mình trả lời câu hỏi trên DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC có sai sót gì mong mọi người thông cảm .

bài của bạn làm sai rồi ngay khúc ab+bc+ac <= 3 là sai rồi 

[Arthur Pendragon]

Cho $a,\,b,\,c> 0,\,abc= 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\geqq \frac{3}{2}$$

Hình như là đẳng thức với mọi a,b,c

[DOTOANNANG]

Hình như là đẳng thức với mọi $a,\,b,\,c$ (!)

$$\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}\xrightarrow[= ]{b= \frac{1}{3},\,c= \frac{3}{a}}= \frac{11\,a^{\,4}+ 190\,a^{\,2}+ 99}{10\left ( a^{\,4}+ 10\,a^{\,2}+ 9 \right )}$$ 

 

Với $a= 1$ thì: $\frac{a}{a+ bc}+ \frac{b}{b+ ca}+ \frac{c}{c+ ab}= \frac{bc+ 2}{bc+ 1}= \frac{3}{2}$ (!)