Chủ đề này có 1 trả lời

[doraemon123]

Cho tam giác ABC nhọn, tia phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. K là giao điểm của CE và BF, H là giao điểm của BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK. Chứng minh DH vuông góc BF

[Minhcamgia]

Cho tam giác ABC nhọn, tia phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. K là giao điểm của CE và BF, H là giao điểm của BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK. Chứng minh DH vuông góc BF

Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Ta có $BI = ABcos \angle ABC$ $;$ $CI = ACcos \angle ACB$

$BE = BDcos \angle ABC; CF = CDcos \angle ACB$. Do $D$ thuộc đường phân giác $\angle BAC$ nên $AE = AF$

$\Rightarrow \frac{BE}{AE} . \frac{AF}{FC} . \frac{CI}{BI} = \frac{BE}{CF} . \frac{CI}{BI} = \frac{BDcos \angle ABC}{CDcos \angle ACB} . \frac{ACcos \angle ACB}{ABcos \angle ABC} = \frac{BD}{CD} . \frac{AC}{AB}$ mà theo tính chất tia phân giác, ta có $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow \frac{BD}{CD} . \frac{AC}{AB} = 1$ hay $\frac{BE}{AE} . \frac{AF}{FC} . \frac{CI}{BI}  =1 \Rightarrow CE,BF,AI$ đồng quy. (theo định lý Menelaus)

Ta có $\angle EHK = \angle EHB = \angle EAK = \angle EAI = 90^o - \angle ABC = \angle BDE \Rightarrow \angle EHB = \angle EDB \Rightarrow EHDB$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DHB = \angle DEB = 90^o \Rightarrow DH \perp BF$ (dpcm).

Hình gửi kèm

•