SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
---- o0o ---- LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: Tính giá trị của $P=\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2}}+\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}}$
Câu 2: Giải phương trình $\frac{(2017-x)^{2}+(2017-x)(x-2018)+(x-2018)^{2}}{(2017-x)^{2}-(2017-x)(2018-x)+(x-2018)^{2}}=\frac{13}{37}$
Câu 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a) $\sqrt{\frac{a}{a+2b}}> \frac{a}{a+b}$ b) $\sqrt{\frac{a}{a+2b}}+\sqrt{\frac{b}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c}{c+2a}}> 1$
Câu 4: Cho DABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE = CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC
a) Chứng minh rằng CA = CK và BA = BL
b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh rằng tam giác IHJ vuông cân
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B, C). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC. Vẽ các đường tròn (H; HM) và (K; KM)
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (H) và (K) luôn cắt nhau
b) Gọi N là là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (H) và (K). Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 6: Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương của một số tự nhiên