Chủ đề này có 1 trả lời

[doctor lee]

cho a,b,c >0 tm abc>=1

cm $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^{5}+c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{c^{5}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[Darkness17]

cho a,b,c >0 tm abc>=1

cm $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^{5}+c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{c^{5}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Chứng minh tương tự rồi cộng vế

$VT\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+2\sum a^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Ta cần cm$\frac{\sum \frac{1}{a}+2\sum a^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}\leq \frac{3} {a^2+b^2+c^2}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}\leq \sum a^2$

Do a$abc\geq 1$và $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

$\rightarrow \sum \frac{1}{a}\leq \sum \frac{abc}{a}=\sum ab\leq \sum a^2$$\rightarrow Q.E.D$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Darkness17: 12-03-2018 - 21:16