Câu 1: $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2-2ac+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2-2bc+c^2}\geq \frac{5}{2}$. Với a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau
a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau.
Bắt đầu bởi Korosensei, 12-03-2018 - 21:19
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 13-03-2018 - 06:57
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
Ta có $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{1}{2}\left[ 1+\left( \frac{a+b}{a-b} \right)^2 \right]$Câu 1: $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2-2ac+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2-2bc+c^2}\geq \frac{5}{2}$. Với a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau
Do đó BĐT tương đương với $\sum \left( \frac{a+b}{a-b} \right)^2 \geq 2$.
Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x, \frac{b+c}{b-c}=y, \frac{c+a}{c-a}=z$, suy ra $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$.
$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$
Do đó $x^2+y^2+z^2-2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2 \geq 0$.
Vậy $x^2+y^2+z^2 \geq 2$ nên ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 13-03-2018 - 06:58
- Korosensei, DOTOANNANG và doctor lee thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
