Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau.

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Thích học toán, xem anime

Đã gửi 12-03-2018 - 21:19

Câu 1: $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2-2ac+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2-2bc+c^2}\geq \frac{5}{2}$. Với a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau



#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 13-03-2018 - 06:57

Câu 1: $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2-2ac+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2-2bc+c^2}\geq \frac{5}{2}$. Với a,b,c là các số thực không đôi một bằng nhau

Ta có $\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{1}{2}\left[ 1+\left( \frac{a+b}{a-b} \right)^2 \right]$
Do đó BĐT tương đương với $\sum \left( \frac{a+b}{a-b} \right)^2 \geq 2$.
Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x, \frac{b+c}{b-c}=y, \frac{c+a}{c-a}=z$, suy ra $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$.
$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$
Do đó $x^2+y^2+z^2-2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2 \geq 0$.
Vậy $x^2+y^2+z^2 \geq 2$ nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 13-03-2018 - 06:58






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh