Chủ đề này có 1 trả lời

[Kiryuu Sento]

1.Cho a > 0, b > 0 và $a+b\leqslant 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{2}+b^{2}}$
 

[nmtuan2001]

1.Cho a > 0, b > 0 và $a+b\leqslant 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{2}+b^{2}}$
 

$$\frac{1}{A}=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=(a^2+\frac{1}{16a^2})+(b^2+\frac{1}{16b^2})+\frac{15}{16}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$$

$$\geq 2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}+2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}+\frac{15}{32}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2$$

$$\geq 1+\frac{15}{32}(\frac{4}{a+b})^2=1+\frac{15}{2(a+b)^2} \geq 1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$$

Suy ra $A \leq \frac{2}{17}$.