Chủ đề này có 1 trả lời

[Trinm]

Cho hàm số $f : [0;+\propto) \rightarrow [0;+\propto)$ liên tục và $\lim_{x \to +\propto }\frac{f(x)}{x} = L < 1$. Chứng minh rằng có ít nhất 1 số $c\geq 0$ sao cho $f(c) = c$

[trambau]

Cho hàm số $f : [0;+\propto) \rightarrow [0;+\propto)$ liên tục và $\lim_{x \to +\propto }\frac{f(x)}{x} = L < 1$. Chứng minh rằng có ít nhất 1 số $c\geq 0$ sao cho $f(c) = c$

Mình nghĩ bạn còn thiếu $f(x)\geq 0$ nữa

Nếu theo ý kiến đó của mình thì bài toán sẽ giải như sau

Nếu $f(0)=0$ thì có đpcm

giả sử f(0)>0 Xét hàm số $\varphi (x)=f(x)-x$ Hàm số liên tục trên $[0;+\infty ), \varphi (0)>0)$

Vì  $\lim_{x \to +\propto }\frac{f(x)}{x} = L < 1$ nên tồn tại một số $a>0$ sao cho $\frac{f(a)}{a}<1$

Do đó $\varphi (a)=f(a)-a<0$

Vì $\varphi (0).\varphi (a)<0$ nên theo hệ quả của định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục tồn tại ít nhất một điểm $c \in(0;a)$ sao cho $\varphi (c)=0$ hay $f(c) = c$