Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ thỏa $f(3x)=f(x)$
Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ ...
Bắt đầu bởi Trinm, 14-03-2018 - 21:05
#1
Đã gửi 14-03-2018 - 21:05
#2
Đã gửi 13-04-2018 - 09:48
Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ thỏa $f(3x)=f(x)$
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $$f(x) = f( \frac{x}{3}) = f( \frac{x}{9}) = f( \frac{x}{27}) = ...= f( \frac{x}{3^n})$ với mọi $n$ nguyên dương.
Cho $n$ dần tới dương vô cùng suy ra $\frac{x}{3^n}$ dần tới $0$.
Do $f$ liên tục tại $x=0$ nên khi $\frac{x}{3^n}$ dần tới $0$ ta có $f( \frac{x}{3^n})$ dần tới $ f(0), f(0)=const$.
Vậy $f(x)=f(0)$ với mọi $x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 13-04-2018 - 09:48
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh