Chủ đề này có 1 trả lời

[Trinm]

Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ thỏa $f(3x)=f(x)$

[trambau]

Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ thỏa $f(3x)=f(x)$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $$f(x) = f( \frac{x}{3}) = f( \frac{x}{9}) = f( \frac{x}{27}) = ...= f( \frac{x}{3^n})$ với mọi $n$ nguyên dương.

Cho $n$ dần tới dương vô cùng suy ra $\frac{x}{3^n}$ dần tới $0$.

Do $f$ liên tục tại $x=0$ nên khi $\frac{x}{3^n}$ dần tới $0$ ta có $f( \frac{x}{3^n})$ dần tới $ f(0), f(0)=const$.

Vậy $f(x)=f(0)$ với mọi $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 13-04-2018 - 09:48