Chủ đề này có 1 trả lời

[DinhXuanHung CQB]

Cho $a>0$ và dãy $x_n$ xác định bởi $(i)$ và $(ii)$

 $(i)$ ${{x}_{1}}=a$

 $(ii)$ ${{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}^{2}}{2014}+{{x}_{n}},n\in {{N}^{*}}$

Tính $\displaystyle \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{x}_{i}}}{{{x}_{i+1}}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 15-03-2018 - 16:58

[TrucCumgarDaklak]

Với quy nạp chứng minh được $x_{n}>0$

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{x_{n}^{2}}{2014}>0$

$\Rightarrow$ dãy tăng

$x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}}{2014}+x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n}^{2}}{2014}=x_{n+1}-x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}}=2014\left ( \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}} \right )$

$\Rightarrow lim\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}=lim\left [ 2014\left ( \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n+1}} \right ) \right ]$

Giả sử dãy bị chặn trên, vì dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi $limx_{n}=t$ ($t>0$), chuyển qua giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$

$t=\frac{t^{2}}{2014}+t\Leftrightarrow t=0$ (vô lí)

$\Rightarrow$ dãy không bị chặn trên $\Rightarrow limx_{n+1}=+\infty \Rightarrow lim\frac{1}{x_{n+1}}=0$

$\Rightarrow lim\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}=\frac{2014}{x_{1}}=\frac{2014}{a }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 15-03-2018 - 17:25