Ta có $U_1\geq 1$ nên $U_n>1$
Xét $(a_n+1-a_n)=\displaystyle \frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}-{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}>0$
Vậy $U_n$ tăng
Giả sử $U_n$ bị chặn trên. Vậy $U_n$ hội tụ
Gọi $L$ là $lim$ $U_n$ $(L>1)$. Theo đẳng thức truy hồi thì :
$\displaystyle L=\frac{{{L}^{3}}+{{L}^{2}}+3L+4}{{{L}^{2}}-1}<=>L=-2$ (loại)
Vậy $U_n$ không bị chặn trên và $\displaystyle \lim \,{{a}_{n}}=+\infty$
Ta có $\displaystyle {{a}_{n+1}}+2=\frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}+\frac{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}{{{a}_{n}}^{2}-1}$
$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}-1}{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1-({{a}_{n}}+2)}{({{a}_{n}}+2)({{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1)}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}$
$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}$
$\displaystyle =>\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{k}}^{2}+{{a}_{k}}+1}}=\frac{1}{{{a}_{1}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{1}{2016}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 20-03-2018 - 14:03