Chủ đề này có 2 trả lời

[hungnolan]

Cho dãy số $a_n$ được xác định

           $\displaystyle {{a}_{1}}=2014$

           ${{a}_{n+1}}=\frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$

Đặt $\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{k}}^{2}+{{a}_{k}}+1}}$

Tính lim $S_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnolan: 15-03-2018 - 18:56

[DinhXuanHung CQB]

Ta có $U_1\geq 1$ nên $U_n>1$

Xét $(a_n+1-a_n)=\displaystyle \frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}-{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}>0$

Vậy $U_n$ tăng 

Giả sử $U_n$ bị chặn trên. Vậy $U_n$ hội tụ

Gọi $L$ là $lim$ $U_n$ $(L>1)$. Theo đẳng thức truy hồi thì :

$\displaystyle L=\frac{{{L}^{3}}+{{L}^{2}}+3L+4}{{{L}^{2}}-1}<=>L=-2$ (loại)

Vậy $U_n$ không bị chặn trên và $\displaystyle \lim \,{{a}_{n}}=+\infty$

Ta có $\displaystyle {{a}_{n+1}}+2=\frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}+\frac{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}{{{a}_{n}}^{2}-1}$

 

$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}-1}{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1-({{a}_{n}}+2)}{({{a}_{n}}+2)({{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1)}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}$

 

$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}$

 

$\displaystyle =>\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{k}}^{2}+{{a}_{k}}+1}}=\frac{1}{{{a}_{1}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{1}{2016}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 20-03-2018 - 14:03

[Ruka]

Ta có $U_1\geq 1$ nên $U_n>1$

Xét $(a_n+1-a_n)=\displaystyle \frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}-{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}>0$

Vậy $U_n$ tăng 

Giả sử $U_n$ bị chặn trên. Vậy $U_n$ hội tụ

Gọi $L$ là $lim$ $U_n$ $(L>1)$. Theo đẳng thức truy hồi thì :

$\displaystyle L=\frac{{{L}^{3}}+{{L}^{2}}+3L+4}{{{L}^{2}}-1}<=>L=-2$ (loại)

Vậy $U_n$ không bị chặn trên và $\displaystyle \lim \,{{a}_{n}}=+\infty$

Ta có $\displaystyle {{a}_{n+1}}+2=\frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}+\frac{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}{{{a}_{n}}^{2}-1}$

 

$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}-1}{{{a}_{n}}^{3}+3{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+2}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1-({{a}_{n}}+2)}{({{a}_{n}}+2)({{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1)}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}$

 

$\displaystyle =>\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}+1}=\frac{1}{{{a}_{n}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}$

 

$\displaystyle =>\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{k}}^{2}+{{a}_{k}}+1}}=\frac{1}{{{a}_{1}}+2}-\frac{1}{{{a}_{n+1}}+2}=\frac{1}{2016}$

 

Dòng cuối chỉnh sửa lại là:

 

$\displaystyle\lim\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k^2+a_k+1} = \displaystyle\lim(\dfrac{1}{a_1+2} - \dfrac{1}{a_{n+1}+2}) = \dfrac{1}{a_1+2} = \dfrac{1}{2016}$