Cho a, b, c là 3 số thực dương có tổng = 3. Chứng minh:
$\sum \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c}\leq 1$
Cho a, b, c là 3 số thực dương có tổng = 3. Chứng minh:
$\sum \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c}\leq 1$
Ta có:
$\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )\left (a^{3}+b^{2}+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9$
$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )}{9}=\frac{1+a+ac}{9}$
Do đó ta chứng minh được:
$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{9}$
Mà ta có: $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
Từ đây ta có:
$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+3+3}{9}=1\Rightarrow $ Đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unknown ahihi: 16-03-2018 - 05:03
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh