Đến nội dung

Hình ảnh

a, b, c > 0. a + b + c = 3. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c}\leq 1$

bất đẳng thức lớp 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Qatxx2405

Qatxx2405

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Cho a, b, c là 3 số thực dương có tổng = 3. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c}\leq 1$



#2
Unknown ahihi

Unknown ahihi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Ta có: 

$\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )\left (a^{3}+b^{2}+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )}{9}=\frac{1+a+ac}{9}$ 

Do đó ta chứng minh được:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{9}$

Mà ta có: $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Từ đây ta có: 

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+3+3}{9}=1\Rightarrow $ Đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unknown ahihi: 16-03-2018 - 05:03






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, lớp 10

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh