Chủ đề này có 9 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

[NGUYENNAMYENTRUNG]

câu 3b) áp dụng kết quả  x³ +y³+.....+z³ -(x+y+..z) = x(x-1)(x+1)+....z(z-1)(z+1) luôn chia hết cho 6 nên ta có kết quả  1603²⁰¹⁸ chia cho 6 dư 1

[Tea Coffee]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH                        ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2018

Môn: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút

 

Câu 1:(3,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: $P=\sqrt{109-36\sqrt{7}}+\sqrt{109+36\sqrt{7}}$

b) Xét 3 số thực $a,b,c$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc \\ a+b+c\neq 0 \end{matrix}\right.$. CM biểu thức $Q=\frac{a^{2}+3b^{2}+5c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ có giá trị không đổi.

Câu 2:(5,0 điểm)

a) Giải phương trình: $x^{2}-3x+3-\sqrt{x-2}-\sqrt{7-x}=0$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x+3=2\sqrt{(3y-x)(y+1)} \\ \sqrt{2y-3}-\sqrt{x-y}=x-3 \end{matrix}\right.$

Câu 3:(3,0 điểm)

a) Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (với $a,b,c,d$ là các số thực) thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$

b) Phân tích số $1603^{2018}$ thành tổng của một số số hạng nguyên dương. Gọi $S$ là tổng các lập phương của tất cả các số hạng đó. Hỏi $S$ chia $6$ dư bao nhiêu?

Câu 4:(7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác cắt nhau tại $H$. Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $\Delta BEI$ và đường tròn tâm $O'$ ngoại tiếp $\Delta CDI$ cắt nhau tại $K$ khác $I$, $DE$ cắt $BC$ tại $M$.

a) CM tứ giác $AEKD$ nội tiếp và ba điểm $A,K,I$ thẳng hàng.

b) CM $\widehat{EMK}=\widehat{ECK}$

c) CM 3 đường thẳng $EC,DB,MK$ đồng quy.

Câu 5:(2,0 điểm)

a) Xét các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ và không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Tìm GTNN: $P=\frac{2}{(a+b)(b+c)}+\frac{2}{(c+a)(a+b)}+(c+2)(3+a+b)$

b) Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt bằng nhau. Trên mỗi ô người ta đặt một viên bi. Nếu ta thực hiện liên tục thao tác lấy ở 2 ô bất kỳ mỗi ô 1 viên bi rồi chuyển sang ô liền kề thì có thể chuyển được tất cả số viên bi về cùng một chỗ không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 24-03-2018 - 20:46

[Tea Coffee]

2) a) $x^{2}-3x+3-\sqrt{x-2}-\sqrt{7-x}=0<=>(x^{2}-3x)-(\sqrt{x-2}-1)-(\sqrt{7-x}-2)=0<=>x(x-3)-\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{x-3}{\sqrt{7-x}+2}=0<=>(x-3)(x-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{7-x}+2})=0$

Do $x\geq 2=> x-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{7-x}+2} >2-1=1$

b) Xét phương trình đầu: $x^{2}+6x+9=4(3y^{2}+3y-xy-x)<=> x^{2}+10x+4xy-12y^{2}-12y+9=0$ có $\Delta _{x}=(4y+10)^{2}+4(12y^{2}+12y-9)=(8y+8)^{2}\geq 0 =>\begin{bmatrix}x=\frac{-x-(8y+8)}{2} \\ x=\frac{-x+(8y+8)}{2} \end{bmatrix}$ rồi thế $x$ theo $y$ vào phương trình thứ hai.

[HelpMeImDying]

 

Câu 3:(3,0 điểm)

a) Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (với $a,b,c,d$ là các số thực) thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$

Đặt $P(x)=G(x)+ex^{2}+fx+g$ với $G(1)=G(2)=G(3)=0$

$P(x)$ là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 $\Rightarrow G(x)=(x-k)(x-1)(x-2)(x-3)$

Lại có: $\left\{\begin{matrix} P(1)=3 & \\ P(2)=6& \\ P(3)=11 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} e+f+g=3 & \\ 4e+2f+g=6 & \\ 9e+3f+g=11 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} e=1 & \\ f=0 & \\ g=2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P(x)=(x-k)(x-1)(x-2)(x-3)+x^{2}+2$

$\Rightarrow 10P(4)+P(-2)=60(4-k)+160+20+60(k+2)+4+2=546$

[NguyenHoaiTrung]

Bài 5b) đã có trên mạng. Xin được phép ghi lại 

Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu (ô trắng). Ta có nhận xét : Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu không đổi. Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2. Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2. Vậy tổng số bi ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2 hoặc tăng lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu. Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và khác 10, do đó không thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô.

[conankun]

Câu 1b:

Ta có: $a^3+b^3+c^3-3abc=0\Rightarrow (a+b+c)^3-3ab(a+b)-3c(a+b)(a+b+c)-3abc=0\Rightarrow (a+b+c)^3-3ab(a+b+c)-3c(a+b)(a+b+c)=0\Rightarrow (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$

Do $a+b+c\neq0$ nên $a=b=c$

Đến đây thay vào là được..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 09-04-2018 - 21:56

[conankun]

Câu 1a:

$A=\sqrt{109-36\sqrt{7}}+\sqrt{109+36\sqrt{7}}$

$\Rightarrow A^2=308+2\sqrt{(109-36\sqrt{7})(109+36\sqrt{7})}=308+53=361 \Rightarrow A=19$

 

Mk thấy các bn bỏ qua câu dễ phải..    

[conankun]

Câu 3b:

Ta chứng minh bài toán phụ: $n^3-n\vdots 6$

Thật vậy: $n^3-n=n(n-1)(n+1)\vdots6$

Suy ra: S và tổng các số đồng dư vs nhau (mod 6)

Mà $1603^{2018}\equiv 1^{2018}\equiv 1(mod 6)$

Suy ra: S chia 6 dư 1 (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 09-04-2018 - 22:07

[hoangkimca2k2]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH                        ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2018

Môn: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút

 

Câu 5:(2,0 điểm)

a) Xét các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ và không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Tìm GTNN: $P=\frac{2}{(a+b)(b+c)}+\frac{2}{(c+a)(a+b)}+(c+2)(3+a+b)$

 

 

Câu bất đã có ở đây https://diendantoanh...frac2caabc23ab/