Đến nội dung

Hình ảnh

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Câu 1) Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.

Câu 2) Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC = 60 độ, nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao

BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.

b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?


$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#2
Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 1: 

a) Ta có $\widehat{AMN} = \widehat{AHD} = ACB \Rightarrow$ tứ giác $BNCM$ là tứ giác nội tiếp. 

Dựng tia tiếp tuyến $Bx$ với $(O;R) \Rightarrow \widehat{MAx} = \widehat{ACB} = \widehat{AMN} \Rightarrow Bx // MN$
Suy ra $ OA \perp MN$ suy ra đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua điểm cố định là A. 

b) Ta có $\widehat{DHN} = \widehat{ABC} \Rightarrow$ tứ giác $HNBC$ là tứ giác nội tiếp. 

Suy ra năm điểm $H, M, N, B, C$ cùng nằm trên một đường tròn. 

Gọi $I$ là giao của trung trực $BC$ với $MN \Rightarrow I$ là tâm đường tròn đi qua 5 điểm $H, M, N, B, C$. 

Lại có $\widehat{BMC} = \widehat{DHC} = 90 ^{o} - \widehat{ACH} = \widehat{BAC} \Rightarrow$ $(I)$ và $(O)$ đối xứng nhau qua $BC$

Ta lại có tứ giác $AHOI$ có $HA // OI; HI // OA \Rightarrow$ tứ giác $AHOI$ là hình bình hành $\Rightarrow HA = OI \Rightarrow I$ cố định

Suy ra đường thẳng qua $H$vuông góc với $MN$ luôn đi qua $I$ là điểm cố định.

Hình gửi kèm

  • 12211.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 20-03-2018 - 15:08


#3
Minhcamgia

Minhcamgia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 2:

a) ta có tứ giác $BEDC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AED} = \widehat{ACB} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ACB (g.g) \Rightarrow \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$

$BC = R.sin60 = R\sqrt{3} \Rightarrow DE = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

b) Gọi $P$ là giao của $BO$ với $(O)$ suy ra tứ giác $AHCP$ là hình bình hành. suy ra $HP$ cắt $AC$ tại N $\Rightarrow ON = \frac{1}{2}BH$

Mà $HE = \frac{1}{2}BH \Rightarrow ON = HE (1) $.

Lại có tứ giác $BHOC$ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{BOC} = \widehat{BHC} = 120^{o}$)

$\Rightarrow \widehat{CHO} = \widehat{CBO} = 30^{o}$ lại có $\widehat{CEN} = \widehat{ECN} = 30^{o}$.

$\Rightarrow OH // EN (2)$

$(1)$ và $(2) \Rightarrow EHON$ là hình thang cân.

Hình gửi kèm

  • 12112.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 20-03-2018 - 15:34






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh