Đến nội dung

Hình ảnh

$$E \max (X,Y) = \sqrt{\dfrac{1-\rho}{\pi}}.$$

* * * * * 1 Bình chọn phân bố chuẩn nhiều chiều

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Mình đang làm một số bài tâp về kì vọng, post lên cho mọi người luyện tập cùng cho vui:

Giả sử $(X,Y)$ là vector ngẫu nhiên 2 chiều phân bố chuẩn, $EX=EY = 0$, $DX=DY=1$, $EXY=\rho$. Chứng minh rằng

$$E \max (X,Y) = \sqrt{\dfrac{1-\rho}{\pi}}.$$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Đặt $Z = \max(X,\,Y)$. Ta tính CDF của $Z$,

 

$$\begin{align*} \mathbb{P}(Z < z) & = \mathbb{P}(X < z,\,Y < z)\\ & = \int_{-\infty}^z \int_{-\infty}^z \frac{1}{2\pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left(- \frac{x^2 - 2\rho xy + y^2}{2(1-\rho^2)} \right)\,dxdy\\ & = \int_{-\infty}^z \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} \int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi (1 - \rho^2)}} \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \rho y}{\sqrt{1 - \rho^2}} \right )^2 \right ) \, dx\right )\,dy\\ & = \int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} \Phi\left(\frac{z - \rho y}{\sqrt{1 - \rho^2}} \right ) \, dy. \end{align*}$$

 

Tiếp theo, ta sử dụng công thức

$$\frac{d}{dt} \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} f(t,\,x)\, dx = \beta'(t) f(t,\,\beta(t)-0) - \alpha'(t) f(t,\,\alpha(t)+0) + \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial}{\partial t} f(t,\,x)\,dx$$

để tính PDF của $Z$. Ta có

 

$$\begin{align*} f_Z(z) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} \Phi\left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}}\right) + \int_{-\infty}^z \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left(- \frac{y^2}{2} -\frac{(z - \rho y)^2}{2(1-\rho^2)} \right) \, dy\\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} \Phi\left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}}\right) + \int_{-\infty}^z \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left(-\frac{z^2 - 2\rho zy + y^2}{2(1-\rho^2)} \right) \, dy \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} \Phi\left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} \int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi(1 - \rho^2)}} \exp \left(-\frac{1}{2}\left( \frac{y - \rho z}{\sqrt{1 - \rho^2}}\right)^2 \right) \, dy \\ & = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} \Phi\left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}}\right). \end{align*}$$

 

Do đó, 

$$\begin{align*}\mathbb{E}Z & = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty z e^{-z^2/2} \Phi \left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}} \right)\,dz \\ & = -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \Phi \left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}} \right) \, de^{-z^2/2}\\ & = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2/2} \, d\Phi \left(\frac{(1 - \rho)z}{\sqrt{1 - \rho^2}} \right)\\ & = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \frac{1 - \rho}{\sqrt{2\pi(1 - \rho^2)}} \exp\left(-\frac{z^2}{2} - \frac{(1-\rho)^2 z^2}{2(1 - \rho^2)} \right ) \, dz\\ & = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{\frac{1-\rho}{2\pi(1+\rho)}}\exp\left(-\frac{z^2}{1 + \rho} \right ) \, dz = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \rho}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \rho}{\pi}}. \end{align*}.$$


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh