Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1
CMR
$a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
$a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
Bắt đầu bởi Lao Hac, 18-03-2018 - 08:21
bđt bunhiacovsky
#2
Đã gửi 18-03-2018 - 08:58
doraemon123
-
- Thành viên
-
- 169 Bài viết
Trung sĩ
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1
CMR
$a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$ (*)
áp dụng bđt bunhiacopxki ta có: $(a\sqrt{a+1}+b\sqrt{b+1})^2\leq (a^2+b^2)(a+1+b+1)=(a+b+2)$ (1)
Lại áp dụng bđt bunhiacopxki ta có: $(a+b)^2\leq (1+1)(a^2+b^2)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$ (2)
Thay (2) vào (1) ta được: (*) $\leq \sqrt{\sqrt{2}+2}$
Đẳng thức xảy ra: a=b=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
- Lao Hac, buingoctu và doctor lee thích
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, bunhiacovsky
Solved
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
