Chủ đề này có 2 trả lời

[doraemon123]

Cho a,b,c thuộc [ -1;1]: a+b+c=0.

Chứng minh: $a^4+b^3+c^2\leq 2$

[vinamilkvietnam]

Theo bài $a,b,c \epsilon [-1;1]$ => $-1\leq a,b,c \leq 1$

=> $a -1 \geq 0, b-1\geq 0, c-1\geq 0 \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$

$1-a\geq 0, 1-b\geq 0, 1-c\geq 0 \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

=> $(a-1)(b-1)(c-1)+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1+1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\geq 0$

$\Leftrightarrow 2+2(ab+bc+ca)\geq 0$ (*)

Theo bài: $a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)$

Thay vào (*) ta được $2-(a^2+b^2+c^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2$

Do $-1\leq a,b,c\leq 1 \Rightarrow a^4\leq a^2,b^3\leq b^2$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị

[doraemon123]

Theo bài ta có a,b thuộc [-1;1]

nên $0\leq \begin{vmatrix} a \end{vmatrix}\leq 1$; $0\leq \begin{vmatrix} b \end{vmatrix},\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\leq 1$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq \begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}$

Vì a+b+c=0 nên ít nhất 2 trong 3 số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử a,b cùng dấu

ta có

$\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\doteq \begin{vmatrix} -(a+b) \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\leq 2.1=2$Vậy $a^4+b^3+c^2\leq 2$

Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị

 

Mình không biết cách này đúng không nữa!!! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 19-03-2018 - 08:17