Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh: $a^4+b^3+c^2\leq 2$

đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 18-03-2018 - 09:29

Cho a,b,c thuộc [ -1;1]: a+b+c=0.

Chứng minh: $a^4+b^3+c^2\leq 2$


$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 


#2 vinamilkvietnam

vinamilkvietnam

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 19-03-2018 - 01:20

Theo bài $a,b,c \epsilon [-1;1]$ => $-1\leq a,b,c \leq 1$

=> $a -1 \geq 0, b-1\geq 0, c-1\geq 0 \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$

$1-a\geq 0, 1-b\geq 0, 1-c\geq 0 \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

=> $(a-1)(b-1)(c-1)+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1+1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\geq 0$

$\Leftrightarrow 2+2(ab+bc+ca)\geq 0$ (*)

Theo bài: $a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)$

Thay vào (*) ta được $2-(a^2+b^2+c^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2$

Do $-1\leq a,b,c\leq 1 \Rightarrow a^4\leq a^2,b^3\leq b^2$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị



#3 doraemon123

doraemon123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 19-03-2018 - 07:38

Theo bài ta có a,b thuộc [-1;1]

nên $0\leq \begin{vmatrix} a \end{vmatrix}\leq 1$; $0\leq \begin{vmatrix} b \end{vmatrix},\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\leq 1$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq \begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}$

Vì a+b+c=0 nên ít nhất 2 trong 3 số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử a,b cùng dấu

ta có

$\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\doteq \begin{vmatrix} -(a+b) \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\leq 2.1=2$Vậy $a^4+b^3+c^2\leq 2$

Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị

 

Mình không biết cách này đúng không nữa!!!  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 19-03-2018 - 08:17

$\sqrt{MF}$  math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$

                                               (~~) (~~) :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:  (~~) (~~) 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh