Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{5}{2}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$
$(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{5}{2}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$
Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 20-03-2018 - 23:29
bđt
#1
Đã gửi 20-03-2018 - 23:29
#2
Đã gửi 21-03-2018 - 08:46
BĐT mạnh hơn:
[attachment=33632:gif (2).gif]
Chuẩn hóa: $$a+ b+ c= 3$$,
$$a, b, c= x+ 1, y+ 1, z+ 1$$,
$$x+ y+ z= 0$$, $$x^{3}+ y^{3}+ z^{3}= 3xyz$$
$$\left ( a+ b \right )^{4}+ \left ( b+ c \right )^{4}+ \left ( c+ a \right )^{4}- \frac{4}{7}\left [ a^{4}+ b^{4}+ c^{4}+ \left ( a+ b+ c \right )^{4} \right ]\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x^{4}+ y^{4}+ z^{4}+ 48\left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )\geq 72xyz$$
Giả sử: $$xy\geq 0$$, $$z= -x- y$$
$$2\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )^{2}+ 96\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )+ 72xy\left ( x+ y \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )^{2}+ 96\left ( x^{2}+ xy+ y^{2} \right )+ 72xy\left ( x+ y \right )$$
$$\geq 18x^{2}y^{2}+ 72\left ( x+ y \right )^{2}+ 72xy\left ( x+ y \right )= 18\left ( 2x+ 2y+ xy \right )^{2}\geq 0$$
- lenadal, DinhXuanHung CQB, dai101001000 và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh