Chủ đề này có 2 trả lời

[DinhXuanHung CQB]

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt không âm. Chứng minh rằng

$\displaystyle \frac{a}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{b}{{{(c-a)}^{2}}}+\frac{c}{{{(a-b)}^{2}}}\ge \frac{9}{2(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 21-03-2018 - 15:35

[minhducndc]

Đặt $(a;b;c)=(x+y;y+z;z+x)(x;y;z\geq 0)$

ta cần chứng minh

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{x+z}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Đã đc cm trong

https://diendantoanh...18/#entry703302

[DOTOANNANG]

$$ \frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{x+z}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$$

$$ x, y, z= \min\left \{ x, y, z \right \}, x+ u, x+ v$$

$$\Leftrightarrow \left ( 3x+ u+ v \right )\left ( \frac{2x+ u}{u^{2}}+ \frac{2x+ u+ v}{\left ( u- v \right )^{2}}+ \frac{2x+ v}{u^{2}} \right )- 9$$

$$\geq \left ( u+ v \right )\left ( \frac{1}{u}+ \frac{u+ v}{\left ( u- v \right )^{2}}+ \frac{1}{v} \right )- 9= \frac{\left ( u^{2}- 4uv+ v^{2} \right )^{2}}{uv\left ( u- v \right )^{2}}$$